Trigonometria

Trigonometria de avião

Em muitas aplicações da trigonometria, o problema essencial é a solução de triângulos. Se lados e ângulos suficientes são conhecidos, os lados e ângulos restantes, assim como a área, podem ser calculados, e o triângulo é então resolvido. Triângulos podem ser resolvidos pela lei dos senos e pela lei dos cossenos. Para garantir simetria na redação dessas leis, os ângulos do triângulo têm as letras A, B e C e os comprimentos dos lados opostos aos ângulos têm as letras a, bec, respectivamente.

A lei dos senos é expressa como uma igualdade envolvendo três funções senoidais, enquanto a lei dos cossenos é uma identificação do cosseno com uma expressão algébrica formada a partir dos comprimentos dos lados opostos aos ângulos correspondentes. Para resolver um triângulo, todos os valores conhecidos são substituídos por equações que expressam as leis dos senos e cossenos, e as equações são resolvidas para quantidades desconhecidas. Por exemplo, a lei dos senos é empregada quando dois ângulos e um lado são conhecidos ou quando dois lados e um ângulo oposto a um são conhecidos. Da mesma forma, a lei dos cossenos é apropriada quando dois lados e um ângulo incluído são conhecidos ou três lados são conhecidos.

Os textos sobre trigonometria derivam outras fórmulas para resolver triângulos e verificar a solução. Os livros mais antigos freqüentemente incluíam fórmulas especialmente adequadas ao cálculo logarítmico. Os livros mais recentes, no entanto, freqüentemente incluem instruções simples do computador para uso com um programa matemático simbólico.

Trigonometria esférica

A trigonometria esférica envolve o estudo de triângulos esféricos, formados pela interseção de três grandes arcos circulares na superfície de uma esfera. Triângulos esféricos foram sujeitos a intenso estudo desde a antiguidade por causa de sua utilidade na navegação, cartografia e astronomia. (Veja acima Passagem para a Europa.)

Os ângulos de um triângulo esférico são definidos pelo ângulo de interseção das linhas tangentes correspondentes a cada vértice. A soma dos ângulos de um triângulo esférico é sempre maior que a soma dos ângulos de um triângulo planar (π radianos, equivalente a dois ângulos retos). A quantidade pela qual cada triângulo esférico excede dois ângulos retos (em radianos) é conhecida como excesso esférico. A área de um triângulo esférico é dada pelo produto de seu excesso esférico E e pelo quadrado do raio r da esfera em que reside - em símbolos, Er ².

Ao conectar os vértices de um triângulo esférico ao centro O da esfera em que reside, um “ângulo” especial conhecido como ângulo triédrico é formado. Os ângulos centrais (também conhecidos como ângulos diédricos) entre cada par de segmentos de linha OA, OB e OC são rotulados α, β e γ para corresponder aos lados (arcos) do triângulo esférico rotulados a, b e c, respectivamente. Como uma função trigonométrica de um ângulo central e seu arco correspondente têm o mesmo valor, as fórmulas de trigonometria esféricas são dadas em termos dos ângulos esféricos A, B e C e, de forma intercambiável, em termos dos arcos a, bec, e os ângulos diédricos α, β e γ. Além disso, a maioria das fórmulas da trigonometria plana tem uma representação análoga na trigonometria esférica. Por exemplo, existe uma lei esférica dos senos e uma lei esférica dos cossenos.

Como foi descrito para um triângulo plano, os valores conhecidos que envolvem um triângulo esférico são substituídos nas fórmulas de trigonometria esféricas análogas, como as leis de senos e cossenos, e as equações resultantes são então resolvidas para quantidades desconhecidas.

Existem muitas outras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo esférico. Vale mencionar as analogias de Napier (derivadas das fórmulas trigonométricas esféricas de meio-ângulo ou meio-lado), que são particularmente adequadas para uso em tabelas logarítmicas.

Trigonometria analítica

A trigonometria analítica combina o uso de um sistema de coordenadas, como o sistema de coordenadas cartesianas usado na geometria analítica, com a manipulação algébrica das várias funções da trigonometria para obter fórmulas úteis para aplicações científicas e de engenharia.

Funções trigonométricas de uma variável real x são definidas por meio das funções trigonométricas de um ângulo. Por exemplo, sin x em que x é um número real é definido para ter o valor do seno do ângulo que contém x radianos. Definições semelhantes são feitas para as outras cinco funções trigonométricas da variável real x. Essas funções satisfazem as relações trigonométricas observadas anteriormente com A, B, 90 ° e 360 ​​° substituídas por x, y, ^π / ₂ radianos e 2π radianos, respectivamente. O período mínimo de tan x e cot x é π e das outras quatro funções é 2π.

No cálculo, é mostrado que sin x e cos x são somas de séries de potências. Essas séries podem ser usadas para calcular o seno e o cosseno de qualquer ângulo. Por exemplo, para calcular o seno de 10 °, é necessário encontrar o valor do pecado ^π / ₁₈ porque 10 ° é o ângulo que contém ^π / ₁₈ radianos. Quando ^π / ₁₈ é substituído na série pelo pecado x, verifica-se que os dois primeiros termos dão 0,17365, que é correto com cinco casas decimais para o seno de 10 °. Usando termos suficientes da série, qualquer número de casas decimais pode ser obtido corretamente. Tabelas das funções podem ser usadas para esboçar os gráficos das funções.

Cada função trigonométrica possui uma função inversa, ou seja, uma função que "desfaz" a função original. Por exemplo, a função inversa para a função seno é escrita arcsin ou sin ^-1, assim sin ^-1 (sin x) = sin (sin ^-1 x) = x. As outras funções inversas trigonométricas são definidas de maneira semelhante.

Coordenadas e transformação de coordenadas