Lógica silogística

Silogístico, na lógica, a análise formal de termos e operadores lógicos e as estruturas que permitem inferir conclusões verdadeiras a partir de determinadas premissas. Desenvolvido em sua forma original por Aristóteles em seu Analytics Anterior (Analytica priora) por volta de 350 aC, a silogística representa o primeiro ramo da lógica formal.

Um breve tratamento da silogística segue. Para um tratamento completo, consulte o histórico da lógica: Aristóteles.

Como atualmente entendido, a silogística compreende dois domínios de investigação. A silogística categórica, com a qual Aristóteles se preocupou, limita-se a simples declarações declarativas e sua variação em relação a modalidades ou expressões de necessidade e possibilidade. A silogística não-categórica é uma forma de inferência lógica usando proposições inteiras como suas unidades, uma abordagem rastreável aos lógicos estóicos, mas não totalmente apreciada como um ramo separado da silogística até o trabalho de John Neville Keynes no século XIX.

O conhecimento da verdade ou falsidade de quaisquer premissas ou conclusões não permite determinar a validade de uma inferência. Para entender a validade de um argumento, é necessário apreender sua forma lógica. A silogística categórica tradicional é o estudo desse problema. Começa reduzindo todas as proposições para quatro formas básicas.

Respectivamente, essas formas são conhecidas como proposições A, E, I e O, após as vogais nos termos latinos afirmar e nego. Diz-se que essa distinção entre afirmação e negação é de qualidade, enquanto a diferença entre o escopo universal das duas primeiras formas, em contraste com o escopo particular das duas últimas, é de quantidade.

As expressões que preenchem os espaços em branco dessas proposições são chamadas termos. Estes podem ser singulares (Maria) ou gerais (mulheres). Uma distinção muito importante no que diz respeito ao uso de termos gerais refere-se ao fato de seus atributos extensional ou intensional estarem em jogo; extensão designa o conjunto de indivíduos aos quais um termo se aplica, enquanto a intenção descreve o conjunto de atributos que definem o termo. O termo que preenche o primeiro espaço em branco é chamado de sujeito da proposição, o que preenche o segundo é o predicado.

Usando a notação do lógico do início do século XX, Jan Łukasiewicz, os termos gerais ou variáveis ​​de termos podem ser expressos em letras latinas minúsculas a, bec, com letras maiúsculas reservadas aos quatro operadores silogísticos que especificam A, E, I e O proposições. A proposição "Todo b é um a" agora está escrita "Aba"; “Some b is a” está escrito “Ibá”; “Nenhum b é a” é escrito “Eba”; e "Alguns b não são a" são escritos "Oba". Um exame cuidadoso das relações obtidas entre essas proposições revela que o seguinte é verdadeiro para quaisquer termos a e b.

Não os dois: Aba e Eba.

Se Aba, então Iba.

Se Eba, então Oba.

Iba ou Oba.

Aba é equivalente à negação de Oba.

Eba é equivalente à negação de Iba.

A reversão da ordem dos termos gera o inverso simples de uma proposição, mas quando, além disso, uma proposição A é alterada para um I ou E para um O, o resultado é chamado inverso limitado da original. As relações lógicas entre proposições e suas conversas, muitas vezes representadas graficamente em um quadrado de oposição, são as seguintes: As proposições E e I são equivalentes ou equipolentes às conversas simples (ou seja, Eba e Iba são iguais a Eab e Iab, respectivamente) Uma proposição A Aba, embora não seja equivalente ao seu simples inverso Aab, implica, mas não é implícita, seu limitado inverso Iab. Esse tipo de inferência é tradicionalmente chamado de conversio per accidens e também é válido em Eba, implicando Oab. Em contraste, Oba não implica nem é implícito por Oab, e isso é expresso dizendo que as proposições O não se convertem. Quando uma proposição é colocada contra a proposição que resulta da alteração de sua qualidade ao mesmo tempo em que seu segundo termo é negado, a equivalência resultante é denominada obversão. Um último tipo de inferência é chamado contraposição e é produzido pelo fato de que algumas proposições implicam a proposição que resulta da proposição original quando ambas as variáveis ​​de seu termo são negadas e sua ordem invertida.

Um silogismo categórico infere uma conclusão a partir de duas premissas. É definido pelos quatro atributos a seguir. Cada uma das três proposições é uma proposição A, E, I ou O. O assunto da conclusão (chamado de termo menor) também ocorre em uma das premissas (a premissa menor). O predicado da conclusão (chamado termo principal) também ocorre na outra premissa (a premissa principal). As duas posições remanescentes nas instalações são preenchidas pelo mesmo termo (o meio termo). Como cada uma das três proposições de um silogismo pode assumir uma das quatro combinações de qualidade e quantidade, o silogismo categórico pode exibir qualquer um dos 64 modos. Cada humor pode ocorrer em qualquer uma das quatro figuras - padrões de termos dentro das proposições - produzindo 256 formas possíveis. Uma das tarefas importantes da silogística tem sido reduzir essa pluralidade apenas às formas válidas.

Aristóteles aceitou 14 humores válidos oficialmente e 5 não oficialmente; como 5 desses 19 silogismos têm conclusões universais, o número de modos válidos pode ser aumentado para 24 passando para as proposições particulares correspondentes (ou seja, de "todos" para "alguns"). Empregando um sistema axiomático no qual a prova era por redução direta e redução indireta ou reductio ad impossibile, Aristóteles conseguiu reduzir todos os silogismos aos da primeira figura. Hoje, para admitir termos independentemente de seu vazio ou não-vazio, a silogística se tornou um caso especial da álgebra booleana, na qual são incorporados os conceitos de classe universal e classe nula, juntamente com as operações de união de classes e interseção de classes. Desse ponto de vista, o número de humores é 15. Esses 15 humores são os teoremas da silogística quando interpretados no cálculo predicado.

Silogismos não-categoriais são hipotéticos ou disjuntivos, aos quais alguns tratamentos acrescentam uma classe de silogismos copulativos. Seu tratamento se distingue da silogística categórica pelo fato de que esta é uma lógica de predicado que analisa termos em combinação, enquanto a silogística não-categórica é uma lógica proposicional que trata proposições inteiras não analisadas como suas unidades. Silogismos hipotéticos nos quais todas as proposições têm a forma "p ⊃ q" (ou seja, "p implica q") são chamados de puros, em oposição a silogismos hipotéticos mistos que têm uma premissa hipotética e uma categórica e uma conclusão categórica. Estes últimos têm dois modos válidos. Silogismos disjuntivos são compostos por um

ou "operador e tem dois modos importantes. No século 20, a compreensão dos silogismos não-categoria foi estendida para abranger proposições complexas e compostas, bem como o dilema com seus modos construtivos e destrutivos.