Índice:
(Aula 1) Introdução à Análise Matemática (Pode 2024)
Elaboração e generalização
Euler e séries infinitas
As técnicas do século XVII de diferenciação, integração e processos infinitos eram de enorme poder e abrangência, e seu uso se expandiu no próximo século. Somente a produção de Euler foi suficiente para diminuir as descobertas combinadas de Newton, Leibniz e Bernoullis. Grande parte de seu trabalho foi elaborado sobre eles, desenvolvendo a mecânica dos corpos celestes, fluidos e meios flexíveis e elásticos. Por exemplo, Euler estudou o difícil problema de descrever o movimento de três massas sob atração gravitacional mútua (agora conhecido como o problema dos três corpos). Aplicado ao sistema Sol-Lua-Terra, o trabalho de Euler aumentou consideravelmente a precisão das tabelas lunares usadas na navegação - pelas quais o Conselho Britânico de Longitude lhe concedeu um prêmio em dinheiro. Ele também aplicou a análise à flexão de uma viga elástica fina e no design de velas.
Euler também levou a análise em novas direções. Em 1734 ele resolveu um problema na série infinita que haviam derrotado os seus predecessores: o somatório da série 1 / 1 2 + 1 / 2 2 + 1 / 3 2 + 1 / 4 2 + ⋯. Euler encontrado a soma a ser π 2 / 6 pelo passo de comparar a negrito série com a soma das raízes da seguinte equação polinomial infinito (obtido a partir da série de potências para a função de seno): sen (quadrado of√x raiz) / Raiz quadrada de√x = 1 - x / 3! + X 2 / os 5! - x 3 / 7! + ⋯ = 0. Euler mais tarde conseguiu generalizar esse resultado para encontrar os valores da função
para todos os números naturais s.
A função ζ (s), mais tarde conhecida como função de Riemann zeta, é um conceito que realmente pertence ao século XIX. Euler vislumbrou o futuro quando descobriu a propriedade fundamental de ζ (s) em sua Introdução à análise do infinito (1748): a soma dos números inteiros 1, 2, 3, 4,
é igual a um produto sobre os números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
, nomeadamente
Essa fórmula surpreendente foi a primeira indicação de que a análise - a teoria do contínuo - poderia dizer algo sobre os números primos discretos e misteriosos. A função zeta desvenda muitos dos segredos dos números primos - por exemplo, que existem infinitamente muitos deles. Para ver o porquê, suponha que houvesse apenas primos finitos. Então o produto para ζ (s) teria apenas muitos termos finitos e, portanto, teria um valor finito para s = 1. Mas, para s = 1, a soma à esquerda seria a série harmônica, que Oresme mostrou ser infinita, portanto produzindo uma contradição.
É claro que já se sabia que havia infinitos primos - este é um famoso teorema de Euclides - mas a prova de Euler deu uma visão mais profunda do resultado. No final do século 20, os números primos haviam se tornado a chave para a segurança da maioria das transações eletrônicas, com informações confidenciais sendo “ocultas” no processo de multiplicação de grandes números primos (consulte a Criptologia). Isso exige um suprimento infinito de números primos, para evitar a repetição de números primos usados em outras transações, para que a infinidade de números primos se torne um dos fundamentos do comércio eletrônico.
Exponenciais complexas
Como exemplo final do trabalho de Euler, considere sua famosa fórmula para exponenciais complexas e iθ = cos (θ) + i sen (θ), onde i = raiz quadrada de√ − 1. Como sua fórmula para ζ (2), que surpreendentemente se relaciona π com os quadrados dos números naturais, a fórmula para eiθ relaciona todos os números mais famosos - e, i e π - de uma maneira milagrosamente simples. Substituindo π por θ na fórmula resulta em e iπ = −1, que é certamente a fórmula mais notável da matemática.
A fórmula para e iθ apareceu na Introdução de Euler, onde ele provou comparando a série de Taylor para os dois lados. A fórmula é realmente uma reformulação de outras fórmulas devido aos contemporâneos de Newton na Inglaterra, Roger Cotes e Abraham de Moivre - e Euler também pode ter sido influenciado por discussões com seu mentor Johann Bernoulli - mas mostra definitivamente como as funções seno e cosseno são justas. partes da função exponencial. Este também foi um vislumbre do futuro, onde muitas funções reais seriam fundidas em uma única função "complexa". Antes de explicar o que isso significa, é preciso dizer mais sobre a evolução do conceito de função no século XVIII.
Funções
O cálculo introduziu os matemáticos em muitas novas funções, fornecendo novas maneiras de defini-las, como em séries infinitas e com integrais. De um modo mais geral, as funções surgiram como soluções de equações diferenciais ordinárias (envolvendo a função de uma variável e suas derivadas) e equações diferenciais parciais (envolvendo a função de várias variáveis e derivadas em relação a essas variáveis). Muitas quantidades físicas dependem de mais de uma variável; portanto, as equações da física matemática normalmente envolvem derivadas parciais.
No século XVIII, a equação mais fértil desse tipo era a equação das cordas vibratórias, derivada pelo matemático francês Jean Le Rond d'Alembert em 1747 e relacionada a taxas de variação de quantidades decorrentes da vibração de uma corda esticada de violino (ver Musical origens). Isso levou à surpreendente conclusão de que uma função contínua arbitrária f (x) pode ser expressa, entre 0 e 2π, como uma soma das funções seno e cosseno em uma série (posteriormente denominada série de Fourier) da forma y = f (x) = a 0 /2 + (a 1 cos (πx) + b 1 sin (πx)) + (a 2 cos (2πx) + b 2 sin (2πx)) + ⋯.
Mas o que é uma função contínua arbitrária e sempre é expressa corretamente por essa série? De fato, essa série representa necessariamente uma função contínua? O matemático francês Joseph Fourier abordou essas questões em The The Analytical Theory of Heat (1822). As investigações subseqüentes geraram muitas surpresas, levando não apenas a uma melhor compreensão das funções contínuas, mas também das funções descontínuas, que de fato ocorrem como séries de Fourier. Isso, por sua vez, levou a generalizações importantes do conceito de integral projetado para integrar funções altamente descontínuas - a integral de Riemann de 1854 e a integral de Lebesgue de 1902. (Ver integral de Riemann e teoria da medida).
O fluxo de fluido
A evolução em uma direção diferente começou quando os matemáticos franceses Alexis Clairaut em 1740 e d'Alembert em 1752 descobriram equações para o fluxo de fluidos. Suas equações governam os componentes de velocidade u e v em um ponto (x, y) em um fluxo bidimensional constante. Como uma corda em vibração, o movimento de um fluido é bastante arbitrário, embora não completamente - d'Alembert ficou surpreso ao perceber que uma combinação dos componentes de velocidade, u + iv, era uma função diferenciável de x + iy. Como Euler, ele descobriu a função de uma variável complexa, com u e v suas partes reais e imaginárias, respectivamente.
Essa propriedade de u + iv foi redescoberta na França por Augustin-Louis Cauchy em 1827 e na Alemanha por Bernhard Riemann em 1851. Nessa época, números complexos haviam se tornado uma parte aceita da matemática, obedecendo às mesmas regras algébricas que os números reais e tendo uma interpretação geométrica clara como pontos no plano. Qualquer função complexa f (z) pode ser escrita na forma f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y), onde u e v são funções com valor real de x e y. Funções diferenciadas complexas são aquelas para as quais o limite f ′ (z) de (f (z + h) - f (z)) / h existe quando h tende a zero. No entanto, ao contrário dos números reais, que podem se aproximar de zero apenas na linha real, números complexos residem no plano e um número infinito de caminhos leva a zero. Descobriu-se que, para fornecer o mesmo limite f ′ (z) como h tende a zero em qualquer direção, uev devem satisfazer as restrições impostas pelas equações de Clairaut e d'Alembert (consulte a equação das ondas de D'Alembert).
Uma maneira de visualizar a diferenciabilidade é interpretar a função f como um mapeamento de um plano para outro. Para que f ′ (z) exista, a função f deve ser “preservação de similaridade no pequeno” ou conforme, o que significa que regiões infinitesimais são fielmente mapeadas para regiões da mesma forma, embora possivelmente sejam rotacionadas e ampliadas por algum fator. Isso torna úteis funções complexas diferenciáveis em problemas reais de mapeamento, e elas foram usadas para esse fim mesmo antes de Cauchy e Riemann reconhecerem sua importância teórica.
Diferenciabilidade é uma propriedade muito mais significativa para funções complexas do que para funções reais. Cauchy descobriu que, se a primeira derivada de uma função existe, então todas as suas derivadas existem e, portanto, podem ser representadas por uma série de potências em z - sua série de Taylor. Essa função é chamada analítica. Em contraste com as funções diferenciáveis reais, que são tão "flexíveis" quanto as cadeias de caracteres, funções diferenciáveis complexas são "rígidas" no sentido de que qualquer região da função determina a função inteira. Isso ocorre porque os valores da função em qualquer região, por menores que sejam, determinam todas as suas derivadas e, portanto, determinam sua série de potências. Assim, tornou-se viável estudar funções analíticas por séries de potências, um programa tentado pelo matemático francês italiano Joseph-Louis Lagrange para funções reais no século XVIII, mas realizado pela primeira vez com sucesso pelo matemático alemão Karl Weierstrass no século XIX, após o um assunto apropriado de funções analíticas complexas foi descoberto.
